İkinci Dereceden Bir Denklemin Grafiği Nasıl Yapılır: 10 Adım (Resimlerle)

2024 Yazar: Robert Blare | [email protected]. Son düzenleme: 2024-02-02 02:08

Grafik çizildiğinde, formun ikinci dereceden denklemleri balta² + bx + c veya a(x - h)² + k düz bir U şeklinde veya parabol adı verilen ters U şeklinde bir eğri verin. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini çıkarmak, köşesini, yönünü ve genellikle x ve y kesişimlerini bulma meselesidir. Nispeten basit ikinci dereceden denklemler durumunda, bir dizi x değeri eklemek ve elde edilen noktalara dayalı bir eğri çizmek de yeterli olabilir. Başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın.

adımlar

Adım 1. Hangi ikinci dereceden denklem biçimine sahip olduğunuzu belirleyin

İkinci dereceden denklem üç farklı biçimde yazılabilir: standart biçim, köşe biçimi ve ikinci dereceden biçim. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini oluşturmak için her iki formu da kullanabilirsiniz; her birinin grafiğini çizme süreci biraz farklıdır. Bir ödev problemi yapıyorsanız, problemi genellikle bu iki biçimden birinde alırsınız - başka bir deyişle, seçim yapamazsınız, bu yüzden her ikisini de anlamak en iyisidir. İkinci dereceden denklemin iki biçimi şunlardır:

• Standart biçim.

  Bu formda, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = ax² + bx + c burada a, b ve c reel sayılardır ve a sıfıra eşit değildir.

  Örneğin, iki standart formlu ikinci dereceden denklem f(x) = x'tir.² + 2x + 1 ve f(x) = 9x² + 10x -8.

• Köşe formu.

  Bu formda, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = a(x - h)² + k burada a, h ve k reel sayılardır ve a sıfıra eşit değildir. Köşe formu bu şekilde adlandırılmıştır, çünkü h ve k size (h, k) noktasındaki parabolünüzün tepe noktasını (merkez noktası) verir.

  İki köşe formu denklemi f(x) = 9(x - 4) şeklindedir.² + 18 ve -3(x - 5)² + 1

• Bu tür denklemlerden herhangi birinin grafiğini çizmek için önce, eğrinin "ucundaki" merkez noktası (h, k) olan parabolün tepe noktasını bulmamız gerekir. Köşenin standart formdaki koordinatları şu şekilde verilir: h = -b/2a ve k = f(h), köşe formunda ise h ve k denklemde belirtilir.

Adım 2. Değişkenlerinizi tanımlayın

İkinci dereceden bir problemi çözebilmek için, genellikle a, b ve c (veya a, h ve k) değişkenlerinin tanımlanması gerekir. Ortalama bir cebir problemi, genellikle standart formda, bazen de köşe formunda doldurulmuş değişkenlerle ikinci dereceden bir denklem verecektir.

• Örneğin, standart form denklemi için f(x) = 2x² +16x + 39, elimizde a = 2, b = 16 ve c = 39 var.
• Köşe formu denklemi için f(x) = 4(x - 5)² + 12, elimizde a = 4, h = 5 ve k = 12 var.

Adım 3. h hesaplayın

Köşe biçimindeki denklemlerde, h için değeriniz zaten verilmiştir, ancak standart biçimli denklemlerde hesaplanması gerekir. Standart form denklemleri için h = -b/2a olduğunu unutmayın.

• Standart form örneğimizde (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Çözerek, h = olduğunu buluruz - 4.
• Köşe formu örneğimizde (f(x) = 4(x - 5)² + 12), h = 5'i matematik yapmadan biliyoruz.

Adım 4. k'yi hesaplayın

h'de olduğu gibi, k köşe formu denklemlerinde zaten bilinmektedir. Standart form denklemleri için k = f(h) olduğunu unutmayın. Başka bir deyişle, denkleminizdeki her x örneğini h için bulduğunuz değerle değiştirerek k'yi bulabilirsiniz.

• Standart form örneğimizde h = -4 olduğunu belirledik. k'yi bulmak için, x yerine h değeriyle denklemimizi çözeriz:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Adım 7.

• Vertex formu örneğimizde, yine herhangi bir matematik işlemi yapmadan k'nin (12 olan) değerini biliyoruz.

Adım 5. Köşenizi çizin

Parabolünüzün tepe noktası (h, k) noktası olacaktır - h x koordinatını, k ise y koordinatını belirtir. Köşe, parabolünüzdeki merkezi noktadır - ya bir "U"nun en altı ya da baş aşağı bir "U"nun en üst noktası. Köşeyi bilmek, doğru bir parabol grafiği çizmenin önemli bir parçasıdır - genellikle okul ödevlerinde köşeyi belirtmek bir sorunun gerekli bir parçası olacaktır.

• Standart form örneğimizde tepe noktamız (-4, 7) olacaktır. Böylece, parabolümüz 0'ın solunda 4 boşluk ve (0, 0) üzerinde 7 boşluk olacak. Koordinatları etiketlediğimizden emin olarak bu noktayı grafiğimizde çizmeliyiz.
• Köşe formu örneğimizde köşemiz (5, 12) konumundadır. 5 boşluk sağa ve 12 boşluk yukarı (0, 0) bir nokta çizmeliyiz.

Adım 6. Parabolün eksenini çizin (isteğe bağlı)

Bir parabolün simetri ekseni, ortasından geçen ve onu tam olarak ikiye bölen çizgidir. Bu eksen boyunca, parabolün sol tarafı sağ tarafı yansıtacaktır. balta formunun ikinci derecedenleri için² + bx + c veya a(x - h)² + k, eksen y eksenine paralel (diğer bir deyişle tam dikey) ve tepe noktasından geçen bir çizgidir.

Standart form örneğimizde eksen, y eksenine paralel ve (-4, 7) noktasından geçen bir doğrudur. Parabolün kendisinin bir parçası olmasa da, grafiğinizde bu çizgiyi hafifçe işaretlemek, sonunda parabolün nasıl simetrik olarak eğri olduğunu görmenize yardımcı olabilir

Adım 7. Açma yönünü bulun

Parabolün köşesini ve eksenini bulduktan sonra, parabolün yukarı mı yoksa aşağı mı açıldığını bilmemiz gerekir. Neyse ki, bu kolay. Eğer "a" pozitifse parabol yukarıya, "a" negatifse parabol aşağıya doğru açılacaktır (yani ters dönecektir.)

• Standart form örneğimiz için (f(x) = 2x² +16x + 39), denklemimizde a = 2 (pozitif) olduğu için yukarı doğru açılan bir parabolümüz olduğunu biliyoruz.
• Köşe formu örneğimiz için (f(x) = 4(x - 5)² + 12), a = 4 (pozitif) olduğu için yukarı doğru açılan bir parabolümüz olduğunu da biliyoruz.

Adım 8. Gerekirse, x kesişimini bulun ve çizin

Çoğu zaman, okul ödevlerinde, bir parabolün x-kesişim noktalarını bulmanız istenir (bunlar parabolün x ekseniyle birleştiği bir veya iki noktadır). Onları bulamasanız bile, bu iki nokta doğru bir parabol çizmek için çok değerli olabilir. Ancak, tüm parabollerde x-kesişim noktası yoktur. Parabolünüzün bir tepe noktası yukarıya açılıyorsa ve tepe noktası x ekseninin üzerindeyse veya aşağı doğru açılıp tepe noktası x ekseninin altındaysa, herhangi bir x kesişimi olmayacak. Aksi takdirde, aşağıdaki yöntemlerden biriyle x kesişimlerinizi çözün:

• Basitçe f(x) = 0 olarak ayarlayın ve denklemi çözün. Bu yöntem, özellikle tepe biçiminde basit ikinci dereceden denklemler için işe yarayabilir, ancak daha karmaşık olanlar için fazlasıyla zor olacaktır. Örnek için aşağıya bakın

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ve 13 parabolün x-kesme noktalarıdır.

• Denklemini çarpanlara ayır. eksendeki bazı denklemler² + bx + c formu, (dx + e)(fx +g) biçiminde kolayca çarpanlara ayrılabilir, burada dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ve e × g = c. Bu durumda, x kesişimleriniz, parantez içindeki her iki terimi de = 0 yapan x değerleridir. Örneğin:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • Bu durumda, tek x kesişiminiz -1'dir, çünkü x'i -1'e ayarlamak, parantez içindeki çarpanlara ayrılmış terimlerden herhangi birini 0'a eşitleyecektir.

• İkinci dereceden formülü kullanın. Eğer x kesişiminizi kolayca çözemiyorsanız veya denkleminizi çarpanlara ayıramıyorsanız, tam da bu amaç için tasarlanmış ikinci dereceden formül adı verilen özel bir denklem kullanın. Zaten değilse, denkleminizi balta formuna alın² + bx + c, ardından a, b ve c'yi x = (-b +/- SqRt(b) formülüne ekleyin² - 4ac))/2a. Bunun size genellikle x için iki yanıt verdiğini unutmayın, bu sorun değil - bu sadece parabolünüzün iki x kesişimi olduğu anlamına gelir. Örnek için aşağıya bakın:

  • -5x² + 1x + 10, ikinci dereceden formüle aşağıdaki gibi eklenir:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) ve (-15.18/-10). Parabolün x kesişimleri yaklaşık olarak x = - 1.318 ve 1.518
  • Önceki standart form örneğimiz, 2x² + 16x + 39, ikinci dereceden formüle aşağıdaki gibi eklenir:
  • x = (-16 +/- SqRt(16)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Negatif bir sayının karekökünü bulmak imkansız olduğundan, biliyoruz ki x kesişimi yok bu özel parabol için var.

Adım 9. Gerekirse, y kesişimini bulun ve çizin

Bir denklemin y kesişimini (parabolün y ekseninden geçtiği nokta) bulmak çoğu zaman gerekli olmasa da, özellikle okuldaysanız, sonunda yapmanız gerekebilir. Bu işlem oldukça kolaydır - sadece x = 0 olarak ayarlayın, ardından denkleminizi f(x) veya y için çözün, bu da size parabolünüzün y ekseninden geçtiği y değerini verir. X kesişimlerinin aksine, standart parabollerin yalnızca bir y kesişimi olabilir. Not - standart form denklemleri için y kesişimi y = c'dedir.

• Örneğin, ikinci dereceden denklemimizi 2x biliyoruz.² + 16x + 39, y = 39'da bir y kesmesine sahiptir, ancak aşağıdaki gibi de bulunabilir:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Parabolün y kesme noktası y = 39.

    Yukarıda belirtildiği gibi, y kesişimi y = c'dedir.

• Köşe formu denklemimiz 4(x - 5)² + 12, aşağıdaki gibi bulunabilen bir y kesme noktasına sahiptir:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Parabolün y kesişimi y = 112.

Adım 10. Gerekirse ek noktalar çizin, ardından grafiğini çizin

Şimdi denkleminiz için bir tepe noktası, yön, x kesişim(ler)iniz ve muhtemelen bir y kesişiminiz olmalıdır. Bu noktada, sahip olduğunuz noktaları kılavuz olarak kullanarak parabolünüzü çizmeye çalışabilir veya çizdiğiniz eğrinin daha doğru olması için parabolünüzü "doldurmak" için daha fazla nokta bulabilirsiniz. Bunu yapmanın en kolay yolu, köşenizin her iki tarafına birkaç x değeri eklemek ve ardından elde ettiğiniz y değerlerini kullanarak bu noktaları çizmektir. Çoğu zaman, öğretmenler parabolünüzü çizmeden önce belirli sayıda puan almanızı isteyecektir.

• x denklemini tekrar gözden geçirelim² + 2x + 1. Tek x kesme noktasının x = -1'de olduğunu zaten biliyoruz. Sadece bir noktada x kesişim noktasına değdiği için, tepe noktasının x kesişimi olduğu sonucunu çıkarabiliriz, bu da tepe noktasının (-1, 0) olduğu anlamına gelir. Bu parabol için aslında sadece bir noktamız var - iyi bir parabol çizmek için neredeyse yeterli değil. Doğru bir grafik çizdiğimizden emin olmak için birkaç tane daha bulalım.

  • Aşağıdaki x değerleri için y değerlerini bulalım: 0, 1, -2 ve -3.
  • 0 için: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Amacımız (0, 1).

  • 1 için: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Amacımız (1, 4).

  • -2 için: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Konumuz (-2, 1).

  • -3 için: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Amacımız (-3, 4).

  • Bu noktaları grafiğe çizin ve U-şekilli eğrinizi çizin. Parabolün tamamen simetrik olduğuna dikkat edin - parabolün bir tarafındaki noktalarınız tam sayılar üzerinde olduğunda, diğer taraftaki karşılık gelen noktayı bulmak için parabolün simetri ekseni boyunca verilen bir noktayı yansıtarak genellikle kendinize biraz iş kazandırabilirsiniz. parabolün.

Video - Bu hizmet kullanılarak YouTube ile bazı bilgiler paylaşılabilir

İpuçları

• f(x) = ax olduğuna dikkat edin² + bx + c, b veya c sıfıra eşitse bu sayılar kaybolur. Örneğin, 12x² + 0x + 6, 12x olur² + 6 çünkü 0x 0'dır.
• Cebir öğretmeninizin size söylediği gibi sayıları yuvarlayın veya kesirleri kullanın. Bu, ikinci dereceden denklemlerinizi doğru şekilde grafiklendirmenize yardımcı olacaktır.