Rasyonel bir fonksiyon, N ve D'nin polinom olduğu y = N(x)/D(x) şeklini alan bir denklemdir. Doğru bir grafiği elle çizmeye çalışmak, temel cebirden diferansiyel kalkülüse kadar en önemli lise matematik konularının çoğunun kapsamlı bir incelemesi olabilir. Aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
adımlar
Adım 1. y kesişimini bulun
Basitçe x = 0 ayarlayın. Sabit terimler dışındaki her şey yok olur ve y = 5/2 kalır. Bunu bir koordinat çifti olarak ifade edersek, (0, 5/2) grafikte bir noktadır. Bu noktanın grafiğini çizin.
Adım 2. Yatay asimptotu bulun
x'in büyük mutlak değerleri için y'nin davranışını belirlemek için paydayı paya uzun süre bölün. Bu örnekte bölme, y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4) olduğunu gösterir. x'in büyük pozitif veya negatif değerleri için, 17/(8 x + 4) sıfıra yaklaşır ve grafik y = (1/2) x - (7/4) doğrusuna yaklaşır. Kesikli veya hafif çizilmiş bir çizgi kullanarak bu çizgiyi çizin.
- Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse yapılacak bölme yoktur ve asimptot y = 0'dır.
- Derece(N) = derece(D) ise, asimptot, baştaki katsayılar oranında yatay bir çizgidir.
- Derece(N) = Derece(D) + 1 ise, asimptot, eğimi baştaki katsayıların oranı olan bir doğrudur.
- derece(N) > derece(D) + 1 ise, büyük | x |, y ikinci dereceden, kübik veya daha yüksek dereceli bir polinom olarak hızla pozitif veya negatif sonsuza gider. Bu durumda, bölümün bölümünün grafiğini doğru bir şekilde çizmeye değmez.
Adım 3. Sıfırları bulun
Rasyonel bir fonksiyonun payı sıfır olduğunda sıfır olur, bu nedenle N(x) = 0 olarak ayarlayın. Örnekte, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Bu ikinci dereceden ifadenin diskriminantı b'dir. 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant negatif olduğundan, N(x) ve sonuç olarak f(x) 'nin gerçek kökleri yoktur. Grafik asla x eksenini geçmez. Herhangi bir sıfır bulunursa, bu noktaları grafiğe ekleyin.
Adım 4. Dikey asimptotları bulun
Payda sıfır olduğunda dikey bir asimptot oluşur. 4 x + 2 = 0 ayarı, x = -1/2 dikey çizgisini verir. Her dikey asimptotu açık veya kesikli bir çizgiyle çizin. Eğer x'in bir değeri hem N(x) = 0 hem de D(x) = 0 yaparsa, orada dikey bir asimptot olabilir veya olmayabilir. Bu nadirdir, ancak ortaya çıkarsa bununla nasıl başa çıkılacağına ilişkin ipuçlarına bakın.
Adım 5. Adım 2'deki bölümün geri kalanına bakın
Ne zaman pozitif, negatif veya sıfır? Örnekte, kalanın payı her zaman pozitif olan 17'dir. Payda, 4 x + 2, dikey asimptotun sağında pozitif ve solunda negatiftir. Bu, grafiğin x'in büyük pozitif değerleri için yukarıdan ve x'in büyük negatif değerleri için aşağıdan doğrusal asimptota yaklaştığı anlamına gelir. 17/(8 x + 4) hiçbir zaman sıfır olamayacağından, bu grafik asla y = (1/2) x - (7/4) doğrusunu kesmez. Grafiğe şu anda hiçbir şey eklemeyin, ancak bu sonuçları daha sonra not edin.
Adım 6. Yerel ekstremi bulun
N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0 olduğunda yerel bir ekstremum oluşabilir. Örnekte, N'(x) = 4 x - 6 ve D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Genişletme, terimleri birleştirme ve 4 yaprağa bölme x 2 + x - 4 = 0. İkinci dereceden formül, x = 3/2 ve x = -5/2'ye yakın kökleri gösterir. (Bunlar kesin değerlerden yaklaşık 0,06 farklıdır, ancak grafiğimiz bu ayrıntı düzeyi hakkında endişelenecek kadar kesin olmayacaktır. İyi bir rasyonel yaklaşım seçmek bir sonraki adımı kolaylaştırır.)
Adım 7. Her yerel ekstremumun y-değerlerini bulun
Karşılık gelen y değerlerini bulmak için önceki adımdaki x değerlerini orijinal rasyonel fonksiyona geri takın. Örnekte, f(3/2) = 1/16 ve f(-5/2) = -65/16. Bu noktaları (3/2, 1/16) ve (-5/2, -65/16) grafiğe ekleyin. Önceki adımda yaklaşık olarak hesapladığımız için bunlar tam minimum ve maksimum değerler değildir, ancak muhtemelen yakındır. (3/2, 1/16'nın yerel minimuma çok yakın olduğunu biliyoruz. 3. adımdan, x > -1/2 olduğunda y'nin her zaman pozitif olduğunu biliyoruz ve 1/16 kadar küçük bir değer bulduk, yani en azından bu durumda, hata muhtemelen çizginin kalınlığından daha azdır.)
Adım 8. Noktaları birleştirin ve grafiği bilinen noktalardan asimptotlara doğru uzatın ve onlara doğru yönden yaklaşmaya özen gösterin
Adım 3'te zaten bulunan noktalar dışında x eksenini geçmemeye dikkat edin. Adım 5'te zaten bulunan noktalar dışında yatay veya doğrusal asimptotu geçmeyin. önceki adımda bulunan uç nokta.
Video - Bu hizmet kullanılarak YouTube ile bazı bilgiler paylaşılabilir
İpuçları
- Bu adımlardan bazıları, yüksek dereceli bir polinomun çözülmesini içerebilir. Çarpanlara ayırma, formüller veya başka yollarla kesin çözümler bulamazsanız, Newton yöntemi gibi sayısal teknikleri kullanarak çözümleri tahmin edin.
- Adımları sırayla izlerseniz, kritik değerlerin yerel maksimum, yerel minimum veya hiçbiri olup olmadığını belirlemek için genellikle ikinci türev testleri veya benzer potansiyel olarak karmaşık yöntemleri kullanmak gerekli değildir. Önce önceki adımlardaki bilgileri ve biraz mantığı kullanmayı deneyin.
- Bunu yalnızca ön hesap yöntemleriyle yapmaya çalışıyorsanız, her bir asimptot çifti arasında birkaç ek (x, y) sıralı çift hesaplayarak yerel ekstremi bulma adımlarını değiştirebilirsiniz. Alternatif olarak, neden işe yaradığını umursamıyorsanız, bir ön hesap öğrencisinin bir polinomun türevini alıp N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = çözememesi için hiçbir neden yoktur. 0.
-
Nadir durumlarda, pay ve payda ortak bir sabit olmayan faktöre sahip olabilir. Adımları takip ediyorsanız, bu aynı yerde sıfır ve dikey asimptot olarak görünecektir. Bu imkansızdır ve gerçekte olan aşağıdakilerden biridir:
- N(x)'deki sıfır, D(x)'deki sıfırdan daha yüksek bir çoğulluğa sahiptir. f(x)'in grafiği bu noktada sıfıra yaklaşır, ancak burada tanımsızdır. Bunu noktanın etrafında açık bir daire ile belirtin.
- N(x)'deki sıfır ve D(x)'deki sıfır, eşit çokluğa sahiptir. Grafik, bu x değeri için sıfır olmayan bir noktaya yaklaşıyor, ancak orada tanımsız. Bunu yine açık bir daire ile belirtin.
- N(x)'deki sıfır, D(x)'deki sıfırdan daha düşük çokluğa sahiptir. Burada dikey bir asimptot var.
