Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir ve düzgün "U" şeklinde bir eğridir. Paraboller de simetriktir, yani bir çizgi boyunca katlanabilirler, böylece katlama çizgisinin bir tarafındaki tüm noktalar, katlama çizgisinin diğer tarafındaki karşılık gelen noktalarla çakışır. Simetri ekseni olarak adlandırılan kıvrım çizgisi, verex'ten geçen dikey çizgidir. Parabol üzerindeki herhangi bir nokta, sabit bir noktadan (odak) ve sabit bir düz çizgiden (direktrix) eşit uzaklıktadır. Bir parabolün grafiğini çizmek için, noktaların kat ettiği yolu işaretlemek için köşesinin yanı sıra köşenin her iki tarafındaki birkaç noktayı bulmanız gerekir.
adımlar
Bölüm 1 / 2: Bir Parabolün Grafiklendirilmesi
Adım 1. Bir parabolün kısımlarını anlayın
Başlamadan önce size belirli bilgiler verilebilir ve terminolojiyi bilmek gereksiz adımlardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır. İşte parabolün bilmeniz gereken kısımları:
- Odak. Eğrinin biçimsel tanımı için kullanılan, parabolün iç kısmındaki sabit bir nokta.
- Dizin. Sabit, düz bir çizgi. Parabol, verilen herhangi bir noktanın odaktan ve doğrultmadan eşit uzaklıkta olduğu noktaların geometrik yeridir (serisidir). (Yukarıdaki şemaya bakın.)
- Simetri ekseni. Bu, parabolün dönüş noktasından ("tepe") geçen ve parabolün iki kolundaki karşılık gelen noktalardan eşit uzaklıkta olan düz bir çizgidir.
- Köşe. Simetri ekseninin parabol ile kesiştiği noktaya parabolün tepe noktası denir. Parabol yukarıya veya sağa açılırsa, tepe noktası eğrinin minimum noktasıdır. Aşağıya veya sola açılırsa, tepe noktası bir maksimum noktadır.
Adım 2. Bir parabolün denklemini bilin
Bir parabolün genel denklemi y = ax'tır.2+ bx + c. Ayrıca daha genel biçimde y = a(x – h)² + k şeklinde de yazılabilir, ancak biz burada denklemin ilk biçimine odaklanacağız.
- Denklemdeki a katsayısı pozitifse, parabol "U" harfi gibi yukarı doğru açılır (dikey yönelimli bir parabolde) ve tepe noktası bir minimum noktadır. Eğer a negatifse, parabol aşağı doğru açılır ve maksimum noktasında bir tepe noktası vardır. Bunu hatırlamakta güçlük çekiyorsanız, şöyle düşünün: pozitif değeri olan bir denklem gülümsemeye benzer; negatif bir değere sahip bir denklem kaşlarını çatmak gibi görünür.
- Diyelim ki aşağıdaki denkleme sahipsiniz: y = 2x2 -1. Bu parabol, a değeri (2) pozitif olduğu için "U" şeklinde olacaktır.
- Denklemde kare x terimi yerine kare y terimi varsa, parabol yatay olarak yönlendirilecek ve "C" veya geriye doğru "C" gibi sağa veya sola, yana doğru açılacaktır. Örneğin, y parabol2 = x + 3, "C" gibi sağa açılır.
Adım 3. Simetri eksenini bulun
Simetri ekseninin, parabolün dönüş noktasından (köşe) geçen düz çizgi olduğunu unutmayın. Dikey bir parabol durumunda (yukarı veya aşağı açılma), eksen, simetri ekseninin parabolü kestiği noktanın x değeri olan tepe noktasının x koordinatıyla aynıdır. Simetri eksenini bulmak için şu formülü kullanın: x = -b/2a.
- Yukarıdaki örnekte (y = 2x² -1), a = 2 ve b = 0. Şimdi, x = -0 / (2)(2) = 0 sayılarını ekleyerek simetri eksenini hesaplayabilirsiniz.
- Bu durumda simetri ekseni x = 0'dır (koordinat düzleminin y eksenidir).
Adım 4. Köşeyi bulun
Simetri eksenini öğrendikten sonra, y koordinatını elde etmek için bu değeri x için girebilirsiniz. Bu iki koordinat size parabolün tepe noktasını verecektir. Bu durumda, 0'ı 2x'e takarsınız2 -1 y koordinatını almak için. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Köşe (0, -1)'dir ve parabol y eksenini -1'de keser.
Köşenin koordinatları bazen (h, k) olarak bilinir. Bu durumda h 0 ve k -1'dir. Parabolün denklemi y = a(x – h)² + k şeklinde yazılabilir. Bu formda tepe noktası (h, k) noktasıdır ve köşeyi bulmak için grafiği doğru yorumlamanın ötesinde herhangi bir matematik yapmanız gerekmez
Adım 5. Seçilen x değerlerine sahip bir tablo oluşturun
İlk sütunda belirli x değerlerine sahip bir tablo oluşturun. Bu tablo size denklemin grafiğini çıkarmanız için gereken koordinatları verecektir.
- "Dikey" bir parabol durumunda x'in orta değeri simetri ekseni olmalıdır.
- Simetri için tabloya x için orta değerin üstünde ve altında en az iki değer eklemelisiniz.
- Bu örnekte, simetri ekseninin değerini (x = 0) tablonun ortasına koyun.
Adım 6. Karşılık gelen y-koordinatlarının değerlerini hesaplayın
Parabolün denkleminde her x değerini yerine koyun ve karşılık gelen y değerlerini hesaplayın. Bu hesaplanan y değerlerini tabloya ekleyin. Bu örnekte, y değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır:
- x = -2 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- x = -1 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 0 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- x = 1 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 2 için y şu şekilde hesaplanır: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Adım 7. Hesaplanan y değerlerini tabloya ekleyin
Artık parabol için en az beş koordinat çifti bulduğunuza göre, neredeyse grafiğini çizmeye hazırsınız. Çalışmanıza bağlı olarak şu noktalara sahipsiniz: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Parabolün simetri eksenine göre yansıdığını (simetrik) unutmayın. Bu, simetri ekseni boyunca birbirinden doğrudan geçen noktaların y koordinatlarının aynı olacağı anlamına gelir. x-koordinatları -2 ve +2 için y-koordinatlarının ikisi de 7'dir; x-koordinatları -1 ve +1 için y-koordinatlarının her ikisi de 1'dir, vb.
Adım 8. Tablo noktalarını koordinat düzleminde çizin
Tablonun her satırı, koordinat düzleminde bir koordinat çifti (x, y) oluşturur. Tabloda verilen koordinatları kullanarak tüm noktaları grafikleyin.
- x ekseni yataydır; y ekseni dikeydir.
- Y eksenindeki pozitif sayılar (0, 0) noktasının üstünde ve y eksenindeki negatif sayılar (0, 0) noktasının altındadır.
- X eksenindeki pozitif sayılar (0, 0) noktasının sağında ve x eksenindeki negatif sayılar (0, 0) noktasının solundadır.
Adım 9. Noktaları bağlayın
Parabolün grafiğini çizmek için önceki adımda çizilen noktaları birleştirin. Bu örnekteki grafik U gibi görünecektir. Noktaları (düz yerine) hafif eğri çizgiler kullanarak birleştirin. Bu, parabolün (uzunluğu boyunca en azından hafifçe kavisli olan) en doğru görüntüsünü yaratacaktır. İsterseniz parabolün her iki ucunda tepe noktasından uzağa bakan oklar çizebilirsiniz. Bu, parabolün süresiz olarak devam ettiğini gösterecektir.
Bölüm 2/2: Parabol Grafiğinin Kaydırılması
Bir parabolün tepe noktasını tekrar bulmadan ve üzerinde birkaç noktayı yeniden çizmeden bir parabolü kaydırmak için bir kısayol istiyorsanız, bir parabolün denklemini nasıl okuyacağınızı anlamanız ve onu dikey veya yatay olarak kaydırmayı öğrenmeniz gerekir. Temel parabol ile başlayın: y = x2. Bunun tepe noktası (0, 0)'dadır ve yukarı doğru açılır. Üzerindeki noktalar arasında (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) ve (2, 4) bulunur. Bir parabolün denklemine göre kaydırabilirsiniz.
Adım 1. Bir parabolü yukarı kaydırın
y = x denklemini düşünün2 +1. Bu, orijinal parabolü 1 birim yukarı kaydırır. Köşe şimdi (0, 0) yerine (0, 1)'dir. Orijinal parabolün tam şeklini koruyacak, ancak her y koordinatı 1 birim yukarı kaydırılacaktır. Yani (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-1, 2) ve (1, 2) çizeriz.
Adım 2. Bir parabolü aşağı kaydırın
y = x denklemini alın2 -1. Orijinal parabolü 1 birim aşağı kaydırıyoruz, böylece tepe noktası (0, 0) yerine (0, -1) olur. Hala orijinal parabolün şekline sahip olacak, ancak her y-koordinatı 1 birim aşağı kaydırılacaktır. Yani, örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-1, 0) ve (1, 0) çizeriz.
Adım 3. Bir parabolü sola kaydırın
y = (x + 1) denklemini düşünün2. Bu, orijinal parabolü bir birim sola kaydırır. Köşe şimdi (0, 0) yerine (-1, 0) şeklindedir. Orijinal parabolün şeklini korur, ancak her x koordinatı soldaki bir birime kaydırılır. Örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (-2, 1) ve (0, 1) çizeriz.
Adım 4. Bir parabolü sağa kaydırın
y = (x - 1) denklemini düşünün2. Bu, bir birim sağa kaydırılan orijinal parabol. Köşe şimdi (0, 0) yerine (1, 0)'dir. Orijinal parabolün şeklini korur, ancak her x-koordinatı doğru bir birime kaydırılacaktır. Örneğin (-1, 1) ve (1, 1) yerine (0, 1) ve (2, 1) çizeriz.
