Bir Apollonian Contası, tek bir büyük daire içinde yer alan sürekli küçülen daireler koleksiyonundan oluşan bir tür fraktal görüntüdür. Apollon Contasındaki her daire, bitişik dairelere teğettir - başka bir deyişle, Apollon Contasındaki daireler sonsuz küçük noktalarda temas eder. Adını Yunan matematikçi Pergalı Apollonius'tan alan bu tür fraktal (elle veya bilgisayarla) makul bir karmaşıklık derecesinde çizilebilir ve güzel ve çarpıcı bir görüntü oluşturur. Başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın.
adımlar
Bölüm 1/2: Temel Kavramları Anlayın
Tamamen açık olmak gerekirse, sadece bir Apollon Contası çizmekle ilgileniyorsanız, fraktalın arkasındaki matematik ilkelerini araştırmak şart değildir. Ancak, Apollon Contaları hakkında daha derin bir anlayış istiyorsanız, bunları tartışırken kullanacağımız çeşitli kavramların tanımlarını anlamak önemlidir.
Adım 1. Anahtar terimleri tanımlayın
Aşağıdaki talimatlarda aşağıdaki terimler kullanılmıştır:
- Apollon Contası: Bir büyük dairenin içine yerleştirilmiş ve yakındaki diğerlerine teğet olan bir dizi daireden oluşan bir tür fraktal için çeşitli isimlerden biri. Bunlara "Soddy Çemberleri" veya "Öpüşme Çemberleri" de denir.
- Bir dairenin yarıçapı: Bir dairenin merkez noktasından kenarına olan mesafe. Genellikle r değişkenine atanır.
- Bir dairenin eğriliği: Yarıçapın pozitif veya negatif tersi veya ±1/r. Dairenin dış eğriliği ile ilgilenirken eğrilik pozitif ve iç eğrilik için negatiftir.
- Teğet: Sonsuz küçük bir noktada kesişen çizgiler, düzlemler ve şekillere uygulanan bir terim. Apollon Contalarında bu, her dairenin yakındaki her daireye yalnızca bir noktada değdiği gerçeğine atıfta bulunur. Kavşak olmadığına dikkat edin - teğet şekiller örtüşmez.
Adım 2. Descartes Teoremini anlayın
Descartes Teoremi, bir Apollon Contasındaki dairelerin boyutlarını hesaplamak için yararlı olan bir formüldür. Herhangi üç çemberin eğriliklerini (1/r) sırasıyla a, b ve c olarak tanımlarsak, Teorem, d olarak tanımlayacağımız üçüne de teğet olan çemberin (veya çemberlerin) eğriliğinin, olduğunu belirtir.: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Amaçlarımız için genellikle sadece karekökün önüne artı işareti koyarak (yani … + 2 (sqrt(…)) elde ettiğimiz cevabı kullanacağız. Şimdilik çıkarma işlemini bilmek yeterli. denklemin formunun diğer ilgili görevlerde kullanımları vardır
Bölüm 2/2: Apollon Contasının İnşası
Apollon Contaları, küçülen dairelerin güzel fraktal düzenlemeleri şeklini alır. Matematiksel olarak, Apollon Contaları sonsuz karmaşıklığa sahiptir, ancak ister bir bilgisayar çizim programı veya geleneksel çizim araçları kullanıyor olun, sonunda daha küçük daireler çizmenin imkansız olduğu bir noktaya ulaşacaksınız. Dairelerinizi ne kadar doğru çizerseniz, Contanıza o kadar çok sığabileceğinizi unutmayın.
Adım 1. Dijital veya analog çizim araçlarınızı toplayın
Aşağıdaki adımlarda kendi basit Apollon Contamızı yapacağız. Apollon Contalarını elle veya bilgisayarda çizmek mümkündür. Her iki durumda da mükemmel yuvarlak daireler çizebilmek isteyeceksiniz. Bu oldukça önemlidir. Bir Apollon Contasındaki her daire, yanındaki dairelere mükemmel bir şekilde teğet olduğundan, biraz şekilsiz olan daireler bile nihai ürününüzü "atabilir".
- Contayı bir bilgisayarda çiziyorsanız, merkezi bir noktadan sabit yarıçaplı daireleri kolayca çizmenize izin veren bir programa ihtiyacınız olacaktır. Ücretsiz resim düzenleme programı GIMP için bir vektör çizim uzantısı olan Gfig, çok çeşitli diğer çizim programları gibi kullanılabilir (ilgili bağlantılar için malzemeler bölümüne bakın). Eğrilikler ve yarıçaplar hakkında not almak için muhtemelen bir hesap makinesi uygulamasına ve bir kelime işlemci belgesine veya fiziksel bir not defterine ihtiyacınız olacaktır.
- Contayı elle çizmek için bir hesap makinesine (bilimsel veya grafik önerilir), kurşun kaleme, pusulaya, cetvele (tercihen milimetre işaretli bir ölçek, grafik kağıdı ve not almak için bir not defteri) ihtiyacınız olacaktır.
Adım 2. Bir büyük daire ile başlayın
İlk göreviniz kolay - sadece büyük, mükemmel yuvarlak bir daire çizin. Daire ne kadar büyükse, Contanız o kadar karmaşık olabilir, bu nedenle kağıdınızın izin verdiği kadar veya çizim programınızdaki bir pencerede kolayca görebileceğiniz kadar büyük bir daire yapmaya çalışın.
Adım 3. Orijinalin içinde bir tarafa teğet olan daha küçük bir daire oluşturun
Ardından, ilkinin içine orijinalden daha küçük ama yine de oldukça büyük olan başka bir daire çizin. İkinci dairenin tam boyutu size kalmış - doğru boyut yok. Ancak, amaçlarımız için, ikinci dairemizi çizelim, böylece büyük dış dairemizin tam ortasına ulaşsın. Başka bir deyişle, ikinci dairemizi, merkez noktası büyük dairenin yarıçapının orta noktası olacak şekilde çizelim.
Apollon Contalarında birbirine değen tüm çemberlerin birbirine teğet olduğunu unutmayın. Dairelerinizi elle çizmek için bir pusula kullanıyorsanız, pusulanın keskin noktasını büyük dış dairenin yarıçapının orta noktasına koyarak, kaleminizi büyük dairenin kenarına değecek şekilde ayarlayarak bu efekti yeniden yaratın. sonra daha küçük iç dairenizi çizin
Adım 4. Daha küçük iç dairenin "karşısına" aynı bir daire çizin
Ardından, ilk dairemizin karşısına başka bir daire çizelim. Bu daire hem büyük dış daireye hem de daha küçük iç daireye teğet olmalıdır; bu, iki iç dairenizin büyük dış dairenin tam orta noktasında temas edeceği anlamına gelir.
Adım 5. Sonraki dairelerinizin boyutunu bulmak için Descartes Teoremini uygulayın
Bir an için çizmeyi bırakalım. Artık Contamızda üç daire olduğuna göre, çizeceğimiz bir sonraki dairenin yarıçapını bulmak için Descartes Teoremini kullanabiliriz. Descartes'ın Teoremi olduğunu unutmayın. d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), burada a, b ve c, üç teğet dairenizin eğrilikleridir ve d, üçüne de teğet olan dairenin eğriliğidir. Bir sonraki dairemizin yarıçapını bulmak için, şu ana kadar sahip olduğumuz dairelerin her birinin eğriliğini bulalım, böylece bir sonraki dairenin eğriliğini bulalım, sonra bunu yarıçapa çevirelim.
-
Dış çemberimizin yarıçapını şu şekilde tanımlayalım:
Aşama 1.. Diğer daireler bunun içinde olduğu için, (dış eğriliği yerine) iç eğriliği ile ilgileniyoruz ve sonuç olarak eğriliğinin negatif olduğunu biliyoruz. - 1/r = -1/1 = -1. Büyük dairenin eğriliği - 1.
-
Daha küçük dairelerin yarıçapları, büyük dairenin yarısı kadar, diğer bir deyişle 1/2'dir. Bu daireler birbirine ve dış kenarları olan büyük daireye değdiği için dış eğrilikleri ile ilgileniyoruz, dolayısıyla eğrilikleri pozitiftir. 1/(1/2) = 2. Daha küçük dairelerin eğrilikleri her ikisi de
Adım 2..
-
Şimdi, Descartes Teoremi denklemimiz için a = -1, b = 2 ve c = 2 olduğunu biliyoruz. d için çözelim:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Bir sonraki dairemizin eğriliği
Aşama 3.. 3 = 1/r olduğundan, bir sonraki dairemizin yarıçapı 1/3.
Adım 6. Bir sonraki daire grubunuzu oluşturun
Sonraki iki dairenizi çizmek için az önce bulduğunuz yarıçap değerini kullanın. Bunların Descartes Teoreminde a, b ve c için eğriliklerini kullandığınız çemberlere teğet olacağını unutmayın. Başka bir deyişle, hem orijinal hem de ikinci çemberlere teğet olacaklardır. Bu dairelerin üç daireye de teğet olması için, bunları büyük orijinal dairenizin içindeki alanın üstündeki ve altındaki açık alanlara çizmeniz gerekir.
Bu dairelerin yarıçaplarının 1/3'e eşit olacağını unutmayın. Dış dairenin kenarından 1/3 geri ölçün, ardından yeni dairenizi çizin. Çevredeki dairelerin üçüne de teğet olmalıdır
Adım 7. Daire eklemeye devam etmek için bu şekilde devam edin
Fraktal oldukları için Apollon Contaları sonsuz derecede karmaşıktır. Bu, kalbinizin içeriğine daha küçük ve daha küçük daireler ekleyebileceğiniz anlamına gelir. Yalnızca araçlarınızın hassasiyeti (veya bir bilgisayar kullanıyorsanız, çizim programınızın "yakınlaştırma" yeteneği) ile sınırlısınız. Her daire, ne kadar küçük olursa olsun, diğer üç daireye teğet olmalıdır. Contanızda sonraki her daireyi çizmek için, teğet olacağı üç dairenin eğriliklerini Descartes Teoremine takın. Ardından, yeni dairenizi doğru bir şekilde çizmek için cevabınızı (yeni dairenizin yarıçapı olacaktır) kullanın.
- Çizmeyi seçtiğimiz Contanın simetrik olduğuna dikkat edin, bu nedenle bir dairenin yarıçapı, "karşısındaki" karşılık gelen daire ile aynıdır. Ancak, her Apollon Contasının simetrik olmadığını bilin.
-
Bir örnek daha ele alalım. Diyelim ki son daire dizimizi çizdikten sonra şimdi üçüncü kümemize, ikinci kümemize ve büyük dış dairemize teğet olan daireleri çizmek istiyoruz. Bu dairelerin eğrilikleri sırasıyla 3, 2 ve -1'dir. a = -1, b = 2 ve c = 3'ü ayarlayarak bu sayıları Descartes Teoremi'ne yerleştirelim:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (metrekare (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. İki cevabımız var! Ancak, yeni çemberimizin teğet olduğu çemberlerin herhangi birinden daha küçük olacağını bildiğimiz için, sadece
Adım 6. (ve dolayısıyla bir yarıçap 1/6) mantıklı.
- Diğer cevabımız 2, aslında ikinci ve üçüncü dairelerimizin teğet noktasının diğer tarafındaki varsayımsal daireye atıfta bulunur. bu daire NS hem bu çemberlere hem de büyük dış çembere teğettir, ancak daha önce çizmiş olduğumuz çemberlerle kesişir, bu yüzden onu göz ardı edebiliriz.
Adım 8. Bir meydan okuma için ikinci dairenizin boyutunu değiştirerek simetrik olmayan bir Apollon Contası yapmayı deneyin
Tüm Apollon Contaları aynı şekilde başlar - fraktalın kenarı gibi davranan geniş bir dış daire ile. Bununla birlikte, ikinci dairenizin mutlaka birincinin yarıçapının 1/2'sine sahip olması için hiçbir neden yoktur - bunu yukarıda yapmayı seçtik çünkü basit ve anlaşılması kolay. Eğlenmek için, farklı boyutta ikinci bir daire ile yeni bir Conta başlatmayı deneyin - bu, heyecan verici yeni keşif yollarına yol açacaktır.
